用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
2009.12.16
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
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我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一． 规定法向量的指向方向
1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，
如：图1中的n1向量。
2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的n2向量。
二． 法向量的夹角和二面角大小的关系
1.设 n1,n2分别为平面 , 的法向量，二面角 l
的大小为 ，向量 当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有 （图n1,n2的夹角为 ，2）；
2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时 （图3）
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