利用向量求二面角大小的

又一方法

福建南安国光中学

黄耿跃

文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.

定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则

cosθ=|JJJJGMANB

G

MA||JJJJNBG|

.

由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则

JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG

|JJJJMABJJJG

ABG|2

AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG

影向量,设GJJJ方向上的投

e=JJJJJABG

JJJG

JJJJG|ABG|

为AB方向的单位向量,

JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABG

GAMGJJJABG

JJJ|JJJJABG|

e=

ABG,|JJJJJABG2

∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|

GJJJG

AN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|

2

例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且

PE:ED=2:1.

(I)证明:PA⊥平面ABCD;

(II)求以AC为棱,EA

C与DAC为面的二面角θ的大小;

(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.

解(I)略;

(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则

A(0,0,0),c(32a,

1

2a,0),JDJG

=(0,a,0),

E(0,

2

JJJ3a,13

a),于是

AEG

=(0,

23a,13a),JJJGAC=(31

JJJG2a,2

a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:

与JJJG

ND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.

由定理2可得

JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG

|JJJACGACJJJG

|2

AC1

21a

2

=(0,a,a)

33

33a2(

1

2a,2

a,0)=(

3

6a,12a,13

a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG

|JJJACGACJJJG

|2AC12=(0,a,0)2a

a2(32a,12

a,0)

=(

3

4a,3

4

a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJND

G|JJJMEJG

||JJJG

ND|

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