在立体几何中,我们经常利用空间向量的方法来求两个平面所成的二面角的大小,即在二面角α-l-β中,设平面α的法向量m,,平面β的法向量n,.〈m,,,n〉=θ,则二面角α-l-β的平面角为θ或π-θ,其中cosθ=cos〈,m,n,〉=,m.,n.

用空间向量求二面角时角大小的确定 李玉玲 (苏省新海高级中学，苏连云港江江在立体几何中。们经常利用空间向量的方法来求两个我平面所成的二面角的大小。即在二面角 0 l1。平面仅的法【一中设一 3向量，面 1法向量 n( ) 0则二面角仪 l B平 3的 .m,=,一一—的平面角 为 0叮 O其中 cs= O(,=或 T,— oO C S一 ) m .是许多同学往往在但

2 20 ) 2 0 6

D( 2,, 2,,, 0,, ) 0, 0)C( 1 0) E( 1 1,

-:2 10,:0 11,P (,,) A (,,)碹 (,,): 00 2￣ - A 设平面A E一个法向量为 (,, ) C的= x Yz. .‘

上， 上

. .= f x+y 0, 0 2 nA￣ =

y。1【+z=。

.

求出c s的值后，能确定二面角的大小是 0 oO不还是一，即二 0也面角d lB大小是O是其补角，大多数同学都是通过观察 ——的还二面角得到，因此经常出错 . 如何确定二面角d lB大小是锐角还是钝角呢？一般——的地，二面角的两个面画出来，个面的法向量也画出来 .把两相对于二面角的两个面，如果两个法向量相对于两个面的方向是一样的 .即两个法向量的方向都向二面角内或外时 (图如 1,么二面角是用向量法求出的角的补角，就是叮 0如果 )那也 T .一两个法向量相对于两个面方向不一样，即当两个法向量的方

令x 1贝 y一， 2 i n (, 2 2 .=,0= 2 z,= 1一， )= o

蹴平 c法 c为。 o的 s 2 —

=詈

3

易判断指向二面角E A—— c D内 .指向二面角 E A— — cD

外，以二面角E A—的大小即为< >所— CD,的大小 . . . .

向一个向二面角内，一个向外时 (图 2, ( )为二面另如 )则鬲，就 角的平面角。即是 0因此可以简单地表述为：向补。向等 . .同异

二面角 E A—— c D的余弦为 . 3

例 2如图4在直四棱柱A C— 111l,面ABCD是 ., B D ABCD中底 1ll1

梯且 l∥ 1,D _1,D D=1= 1=

, 1形，A 1D l 1j c A 1 1 D 1 B 1 D B c A lD l 1= D c÷A I A _

L l E棱AB的中点 .二面角D- E B的余弦值. AC,是 1求 1C - l

图1

图2

例 1如图 3四棱锥 P A C .,— B D的底面 A C B D是直角梯形， DAB= ABC 9。 P = 0, A上底面ABC P AB= D, A= AD= BC, 2,=I E为P D的中点。二面角 E A—求— C D的余弦值 . 图4

解： 1以D。原点， 1, 1 1D D在直线分别为 x Y z ()为 D A1 C, 1所 D,, 轴，立如图4示的空间直角系， D (,, ) B (,, ) E建所则 0 0 0, 112 0, (,, ) C(,, ) 1 10, o 1 1, (,,) 1 10, (,, ) 0 11,= 0 1o, (,,)

亩：一，,) (10 1. 设平面c 的一个法向量为= x,,Z) DE ( Y,1. 图3

解： A为原点， B、 D、 P在直线为 X Y z,立如以 A A A所、、轴建图所示的空间直角系 .则 A( 0,, 0, 2) B(, O) O, 0) P( 0,, 2 0,,

ny密 1,…. - D, 令X l则 l I l, n (,11 l, y -,=￣q 1, == Z 1O= - ) 总之，初中数学概念教学中，要针对学生实际和概在只念的具体特点，重引入，强分析，视训练，以灵活多注加重辅样的教法，学生准确地理解和掌握概念，能有效地提高使就教学质量。 参考文献： []建跃.学基础知识及其教学的再认识 . 1章数中学数学教

概念的本质去解决以“式”现的具体问题。如“算 ( 5 变出例计一— 2 )一 a5”由于学生只看到平方差公式为一字母或一具体 a (2+ ),数字而不能从本质上去理解公式，缩小了公式的外延，能故不解出此题。 概念的僵化反映了思维的刻板 .即所谓“识学得太死”知。为克服概念的僵化。有必要从初一到高三的教学中有意识地引导启发学生注意表示概念的式或图 .又要引导他们从概念的本质属性去认识 .察各种“观变式”的情形。别注意到字母特既可表示数又可表示式。

选择一些灵活应用概念的练习题，要 使学生能正确、面地理解和应用概念。全

学参考，0 8 . 2 0 . 6[]月丹 .念教学突出一个“”中学数学教学参 2朱概悟字. 考。 0 24 2 1 ..