利用法向量求二面角时,教材的处理是直观估计二面角的平面角是锐角还是钝角,但在二面角比较接近90°或者图形放置的位置不适宜时,容易估错.《中学数学教学》2005年第5期刊登了张家武老师撰写的文章《谈向量法确定二面角的平面角的大小》,文中引入了“卦向量”,解决了这一问题.但此法对于中学生来说较难理解.

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中学数学月刊

20年第 1期 08 O

再谈用珐向量确定二面角的平面角的大小 张无忌 (江苏省丹阳高级中学 2 20 ) 130

利用法向量求二面角时，教材的处理是 直观估计二面角的平面角是锐角还是钝角， 但在二面角比较接近 9。 0或者图形放置的位置不适宜时，容易估错.中学数学教学)05《 20年第 5刊登了张家武老师撰写的文章《期谈向量法确定二面角的平面角的大小》文中引，入了“卦向量”解决了这一问题.,但此法对于 中学生来说较难理解. 笔者在教学实践中，总结出一种易于操

第五步， csJ,:由。 (厅>霉 < l 2;万，> n

,求

第六步，二面角的平面角—的大小 z

为订 ( l 2.一厅，> n

下面以苏教版选修 2 1 3“ -第章空间向 量与立体几何”中的例题、习题为例，稍加变 形加以说明.

例1 ( 9第 4页例 3在正方体 A C— ) BD ABCD中， ,求二面角 A . C的平面角的 D —

作，简便有效的向量方法，现介绍如下： 如图 l,二面角 0 f的大小为， c - 向量厅，2。分别为平厅 面 a, p的法向量，且

余弦值 . 解不妨设正 方体的棱长为 l以， , ,

耐为单

n,2 l均指向二面角 n内， O￣ (ll .则=r厅，2 -一 J)如何使得以，: 均指向二面角内呢？ 步骤如下：

位正交基底，建立如 图 2所示的空间直角坐标系 D-y, xz则

D O0 0, (,,)C(,,) (,, )B 1 10, l 1 1. 0 设平面 CB的方程为 A+ y + t D x B十 D=

第一步，求二面角— B Z的面 a的方程： 1 A卅+=( D 0待定系数法); 第二步，面 O分空间为两部分，平/判断哪一部分的点使 A十+ zD 0 ( C+>类似于直

0将点 D B C坐标代入， D 0A=,,,,1得=,柏 0 B C 0由此得平面 C D的方程为+=,, B=. O 取特殊点，no 0 1代入 y,￣ (,,) t -此时+

=>, l .内的点满足+ 线分直角坐标系平面为两部分，这里不作讨 z l0故二面角 C D Al>,。 D的一个法向量(, 11能使 1一，)一论 )则另一部分使得 A+ y C+< (

, x B+ zD O特殊 z 0面 CB

点代入法 );

yz0所以取 n= 1一，)+>, l(,11.

第三步，弄清二面角内 A+ C+ x+ z D的 符号后，将的法向量刀 ,, )= B C对应的坐 标 (曰 C或 a=a A,c (> A,, ) n (A, B A )A 0且存在即可 )代入 A棚 C+ zD,若 A 2C D +2 +

同理， A 8面 lD的方程为 (,,) O 0 1代人可知

-.,点 Z0取

一 10故二面角 C一<,

肋 .l A内的点满足<, O而面 AB ID的一个法向量 (, 1一 ) 1一， 1不能使<,取 0故

或 J 2 2c)D与二面角内 A+ C+ :++2 L B + 毋+ zD

的符号一致，则取平面 a的法向量厅=A,, I( B C;若符号相反，则取 n=,,C . )。( 一 )此 时，l甩指向二面角内； =一

(’1由 O nn黼一 1) C l2 l,, S,> ,

得 ( lF)霄 0cs 所以二面 J,2=一，o l/=1,

第四步，仿上求 n; 2

角广 D C的平面角的余弦值为 . —。