利用向量法解题的时候,如何利用法向量判断二面角的大小,付费从期刊网上下载来的,希望对大家有所帮助!!

法向量与二面角大小关系判断的一个基本方法 重庆市重庆八中罗毅

判断一个二面角大小与这个二面角的两个法向量夹角大小是相等关系，还是互为补角，困扰学生甚至一线老师的一是个难题，在教学实践过程中，常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面。如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和实践操作的可行性 (不是某些老师所说的“由图形观察，易知……”,洁性 ( )简不是繁烦的文字叙述和大量的引理证明 )。笔者认为，只要认识清楚了以下三个基本关系， 我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题。 一

令=l Yo=f Yo A一一 l1一一 ,1 X -一{ Jl一0, 0一， lXJ} X Y 0 1 一。 Y l yl 一

J。

I

叫 0。 J

。 y:一y o

-

一

X:I 0≠ )

、

空间向量坐标的符号与向量方向的关系

贝 0 m=( 3,3,)。 A,,)。 A : ( 31 3这说明，。A,由A, A三点唯一确定的平面 O, t其法向量可以由 ( Y唯一确定。 或、)

我们知道，一个向量的坐标并不是刻划这个向量在空间直角坐标系 D一中的具体位置，而是刻划该向量相对于标准正交基=(,,)=(,,)=(,,)的“ 100 0 10, 001分解程度”。比如，向

三、面角的大小与两个法向量相对指向的关系二 我们进行如下定义： 定义 1以为棱的两个半平面、:口把空间分成两部分， 其中使二面角—一 z口的平面角 0 0,∈(仃)的部分称为二面角的内部，另一部分称为二面角的外部。 定义 2以平面 O上任意一个不属于棱的点为起点作该： L平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角。一z 卢的外部，则称该法向量指向二面角。一一 l卢的外部，反之， 称该法向量指向二面角。一f 的内部。一 容易看到以下事实： ①当、卢的法向量，矗同时指向二面角 n—f 的内部一 (或外部 ),<而，与二面角。一f互为补角( 1;时角矗>一图 ) 一

量而= yz表示将向 (,, )量按对角线法则分解，在轴 Y、轴 z 轴上的“分向量”依次是

m=( 00= =(,,) ,,)五 Oy0== (,,) , 00z=从而，, Y的正负直接反映这三个“分向量”与对应的基底是同向还是反向，表：如下 坐标 y _ + 同向同向反向反向

f

同向

反向

二、面法向量的横、、之间的相关关系平纵竖 平面 O的法向量的坐标之间构成正比例关系。 l 证明如下： A (oY, )A (,1。),2 2Y,2设 o,oZ, l 0 lY,】 A (,2。 )是平面 O上任意三个不共线的点，=( y ) l ,,是平面 O的法 L向量，则 f jA Al f上A Al m _0 m 0

【 02【 02 m A A m AA

r l )+ Y一 )+ 一 0 (一 1 ( 1 (1 Z)=0 【 一 )+ (2 )+ (2 )= (2 0 Y Y一 zz一 0 0 l— 0

I y1一 l,, 2一 y 0

1— 0 2— 0

解得： Y=

2一 0

———Z,一Y Z 1一 。]二 10 l 10 l一 Y一1——一l—o Z Y l Y Z—— lo— I 2一Yo Z Y , 2一Z 0I I y2一Y Z o 2一Z 0{

(一一≠, 1 -。 Y ) Yo Z 0 J -『

记=J Z0= 1 A~一 1I一】一， {Y, j Y o一 f o 0 Y Y l Z l’一 、

一 lJ。z

J一，。 y Y 2 zI l一 0 z一0 Y 2

图 2

l2 Y。—;l 一o 2 2 Y 0

贝 0而=( A, )= 1A, ) , 1 1 (, 1 1,

基于对以上三个基本关系的阐述和证明，以看到，解可要决我们提出的问题，关键是判断两个法向量的相对方向，由而

i一 Y X。Y j-0Y一。 o l

。 f

嘲冷一1— 鲁一 20『 1 X X0 I , l一0 2 I z一 2

一——’:::o]二— I一： I) :≠ I。一 0 J 一

I2 2 I 一o一0 贝 :( 2,,2 ): (,1 ) A yYg Y yA, ;

于平面法向量方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，以我们只

需要判断出平面法向量的任意一个所坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，现整个问题的求解。下实举例说明该方法的具体实施过程。 例 1 20 (0 6年高考山东卷 )如图，已知平面 A B C平行于，..三棱锥—A C底面 A C, B B等边△A C所在的平面与底面 A C垂直，/A B= 0, A 2 B B且 C 9。设 C: . C= () 1求证：直线 B C是异面直线 A与 A C的公垂线；。 (求点 A到平面 B C的距离； 2 ) V ‘ 1 5创新教育 8