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立体几何练习题与答案

一、（2007广西）如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，

S

侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD 2DC，求二面角A EF D的大小． 解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

∥连结AG，FG

12

F

∥AB， CD，又CD

AE，AEFG为平行四边形．EF∥AG， 故FG

又AG 平面SAD，EF 平面SAD．

所以EF∥平面SAD． （2）不妨设DC 2，则SD 4，DG 2，△ADG为等腰直角三角形．

A

E 取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB AG A，所以DH⊥面AEF． 取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF．连结DM，则DM⊥EF． 故 DMH为二面角A EF

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D的平面角tan DMH

DHH

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C

B

所以二面角A EF

立体几何练习题与答案

D的大小为arctan．

解法二：（2）如图，建立空间直角坐标系D xyz．不妨设

1 A(1，，00)，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E 1，0 ，F

2

111 111

EF中点M(,,),MD ( , , ),EF ( 1,0,1)

222222

1

MD EF 0,MD EF又EA (0, ,0)，

2

EA EF 0，EA⊥EF，所以向量MD和EA

MD EA角A EF D的平面角．cos MD，EA

3MDEA

3

所以二面角A EF D的大小为arccos

二、（2011年全国卷）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（Ⅰ ）因为 DAB 60，AB 2AD, 由余弦定理得

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