专题四 立体几何

第1讲 空间几何体

(推荐时间：60分钟)

一、填空题

1．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．

2．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降________ cm.

3．棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为________．

4．(2011·福建)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为________．

5．在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AN，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是________．

6．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．

7．(2011·辽宁改编)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S—ABC的体积为________．

8．将一个钢球置于由66 m的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么这个钢球的最大体积为______ m3.

9．如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60°，

一个半径为1的球放在该支架上，则球心到P的距离为________．

10．在四面体ABCD中，AB＝CD10，AC＝BD＝5，AD＝BC＝，

则四面体的外接球的表面积为________．

11．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为________．

12．如图，已知三棱锥P—ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，△ABC，

△PEF都是正三角形，PF⊥AB，若P，A，B，C在一个表面积为12π的球

面上，则△ABC的边长为______．

二、解答题

13．如图所示，一座底面是长方形的仓库，它的屋面是两个相同的矩形，

它们互相垂直，如果仓库的长a＝13 m，宽b＝7.6 m，墙高h＝3.5 m，求仓

库的容积．

14.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平

行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．

(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；