高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)
这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!
高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)
401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少
?
解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.
∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝b2sin2 a2cos2 (asin bcos )2＝a b absin ≥a b ab.
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∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为a b ab.
402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补
.
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证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB ∴CE⊥AB，DE⊥AB
又∵CE α，DE β，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角. 在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90° ∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.
403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.
已知：二面角α—ED—β，平面 过ED，A∈ ，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C. 求证：AB∶AC＝k(k为常数)
证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF. ∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.
∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.
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