在用两个面的法向量的夹角求二面角的大小时,通常需要判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是互补的关系,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着我们,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决.结合自己的教学实践经验,给出利用向量工具求解二面角大小的五种方法,从而有效地解决了上述难点.

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21年 0 1

第 1 2期—

常需要判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是 们，即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决.结合自己的 教学实践经验，给出利用向量工具求解二面角大小的五种方法， 从而有效地解决了上述难点. 关键词：二面角大小；求法；向量工具；方法

()图 1 2如，取 AD的中点为 0,以 O为坐标原点，建立如

互补的关系，但“等”还是“相互补”这个问题始终困扰着我图 1示的空间直角坐标系 0 xz所一 y,正方形 A C B D的边长为 1,

则o,,)A 00,( 10, ( 00,(, )曰 o, .' )

D10 ) (0 ) , o v’ ' 'o, . 于=, o=10 )是 ( 1) (,, . 1,, 设平面 V D的法向量为，=( B l,Y ) 1,z,

求二面角的大小是立体几何中学习的重点，也是高考的热点.用法向量解决此类问题，把空间几何问题转化为代数运算， 减少了一些辅助线的添置，避开了一些较复杂的空间想象，过

则，上麻且，j l l_, I n1 . =+ y: 0,

程较为程序化，从而大大降低了解题的技巧性和难度，易于掌 握，使解题过程更加简洁、流畅.众所周知，在用两个面的法向

所以 : ,

量的夹角求二面角的大小时，还必须判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是互补，但“等”还是“相互补” 这个问题始终困扰着大家，即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决，总让人觉得美中不足.为了能有效地解决上述难点，笔者结合自己的教学实践经验，对如何利用向量工具求解 二面角大小给出以下五种方法，供大家参考 . 一

I=, Y

解 1一靓得： 取，, _一 ) =,1孚 . (’ 取平面 V D的法向量为，=(, 1 ) A l 0,0 .:

、

观察法

在二面角所在的空间图形的平面直观图中，如果很容易通

设所求二面角的平面角为 0 ( 0为锐角),根据前面所述的

过观察直观断定出二面角的大小是锐角或钝

角时，可用两个面的法向量夹角余弦的绝对值求出二面角的大小 .具体方法是：设二面角的大小为 0 1 l为两个面的法向量，若 0为锐角，则，,,, . I J 1 1

方， I l斟：,法贿一=s= c o ( 罕 故所求二面角的大小为 r。 c。 .

0 a c抖=ro cs

;为钝角，=T a c 若0则0 1 r o— cs C中，底口

. 【点评】此题所给图形中的二面角的大小，通过观察很容：易 确定为锐角，故用法向量夹角余弦的绝对值表示出二面角的余 弦，避开了判定法向量的夹角和二面角的大小关系的难点 . 二、检验向量法

例 1 (0 5年高考全国卷 m) 20 如图 1,在四棱锥面 A C是正方形，侧面 V D是 BD A

正三角形，平面 D上底面 AB D C. ()明』 1证 4口上平面 V D; A

在二面角的棱上任取一点 M,在二面角的内部任取一点 N, 构造一个检验向量图1 ,设二面角的大小为 0, J为两个面 l

( )面 V D与面 V B所成 2求 A D的二面角的大小 .

的法向最., .与 n .若 l耐，,

同号，则 0:竹一(。 l;,,,) l

收稿日期：2 1— 9 1 000—9

作者简介：宋波 (9 1,男，甘肃甘谷人，中学高级教师，甘肃省青年教学能手，兰州市骨干教师，兰州市教科研工作先进个人，主要从 17一)事高中数学教学、解题思想和方法、高考复习的研究.

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