3622

数学教学研究　　　　　　　　　　　　　2006年第6期

,所以θ=45°,即为所求二面角的度数.2

ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小.

2a

=

解析　设A-PC-B的平面角为θ,则由C∈

PC,∠PCA=θ,∠BCA=θ,∠PCB=θ1=45°3=60°2,

θ8　利用公式cos

θθθcos3-cos1cos2

.

θθsinn1si2

如图9,在二面角α-l-β中,设θ为其平面角,

B∈l,BA<α,BC<β,∠ABD=θABC1,∠CBD=θ2,∠

θ且易得cos,所以2=4

-θθθcos-coscosθ=　cos==,

θθsin71sin224

θ=θ3,则不难推证:cos

θθθcos-coscos.

θθsin1sin2

故θ=为所求二面角的度数.7

总之,,　图9　　　　　　　　　　图10例8　如图10,已知△ABC,PA,杨　卫

(甘肃省兰州市第二十一中学　730060)

　　平面的法向量在高中数学新教材中所占比例不大,只有概念,但它的作用却不可低估.利用平面的法向量能解不少立体几何问题,如平行、垂直、角、距离等问题.借助平面的法向量可以使一些复杂的几何推理模式化、代数化,有效地将数与形结合起来,避开了一些烦琐的推理,使解题过程顺畅、简捷,使复杂的立体几何问题简单化.现举例说明平面的法向量在实际解题中的几种具体应用.

1　求二面角

解　建立如图1所示的空间直角坐标系A

-xyz,则A(0,0,0),C(-1,1,0),D(0,

,0),S(0,0,1)=(-1,1,-1),=(0,

,-1),=(0,,22

　图1

设二面角α-l-β的大小为θ,n1、n2分别是平β的法向量,则θ与n1、面α、n2的夹角的关系相等或互补.

例1　(2001年全国高考题)在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面AB2

CD.SA=AB=BC=1,AD=SAB的二面角的正切值.

0),SAB的法向量,设n=(x、y、z)是面SCD面SCD、面SAB所成的二面角为θ,由n⊥n⊥-x+y-z=0,

n =0,n =0,,求平面SCD与平面2

y-z=0.2

取y=2,得z=1,x=1,所以n=(1,2,1),则

cos〈n,=|n| |分析　此题如用一般的立体几何方法求解,寻求面SCD与面SAB所成的二面角的平面角是难点,而应用平面的法向量就使问题简单化.

.3

2

故tan〈n,=

θ,因此面SCD与面,所以tan

22