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求二面角的基本方法

求二面角的基本方法

求二面角的基本方法

——定义法与法向量法

一、 在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。

例1 如图1,在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解析 由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形 SBC底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.

又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD. 而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝

求二面角的基本方法

a,

图1

又因为AB⊥BC,

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∴∠ACS＝30.又DE⊥SC, 所以∠EDC＝60°即所求的二面角等于60°. 二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M向另一个半平面引垂线（垂足为H），过H向棱l引垂线（垂足为N），由三垂线定理可知PN l，则 PNH即为平面角（或其补角）。

例2 如图2，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B1、C1．将 AB1C1沿B1C1折起到 A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M．求：二面角A1 B1C1 M 的大小。

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