学案44 利用向量方法求空间角

导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．

自主梳理

1．两条异面直线的夹角

①定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．

②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________． ③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝_______________.

2．直线与平面的夹角

①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．

②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是______________________________________． ③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.

3．二面角

(1)二面角的取值范围是____________． (2)二面角的向量求法：

①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大

→→

小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．

②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．

自我检测

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．

2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则l1与l2所成的角等于________．

3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于________．

4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________________________________________________________________________．

5．(2010·铁岭一模)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．

探究点一 利用向量法求异面直线所成的角

例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，