解圆锥曲线问题常用方法（二）

【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法：

4、数形结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

22

如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x+y”,令x y d，则d表示点P

2

2

例2：已知点P(x,y)是圆x+y-6x-4y+12=0上一动点，求解：设O（0，0），则y=kx,即kx-y=0

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y

的最值。 x

yy

表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，取得最值，设最值为k，则切线：xx

圆(x-3)+(y-2)=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得

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|3k 2|k 1

2

1,

∴k

3 4

（x，y）到原点的距离；又如“

5、参数法

y 3y 3

”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率 x 2x 2

∴

3 3 y 3 3 y

, 44 x min x max

（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1） （2）斜率为参数

当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法

这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】

例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=a b 4a 6b 13的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式，

22

解：S=(a 2) (b 3)设Q(-2,3),

x2y2

1的斜率为1的弦，求a的取值范围. 例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线

169

分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0)

x12y12

1 ① 169

则： 2 2

x2 y2 1

② 169

xyx21 x22y21 y22 0,即0 0 1 0 ①-②得

169169

即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。 由

得C

167

,

22

9 169

, ,D 7 77

x2y2

1 169

∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-

则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离 ∴Smin

167167

或x>) 77

| 2 2 3 1|

5

3 5

kPD=

2 0

977

9 27

,kPD 16

2 0

977

9 2 16

点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t消元后，它是一个一元二次函数）

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