圆锥曲线知识点总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，

且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；

双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中

的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥

|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点

F1( 3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是APF1 PF2 4 BPF1 PF2 6 C．PF1 PF2 10 D．PF12 PF22

程 12（答：C）

8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其

商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关

x2

系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(22,0)及抛物线y 上一动点P（x,y）,4

则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x acos （参数方程，其中为参数）（1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0） ， y bsin ab

22yx22焦点在y轴上时2 2＝1（a b 0）。方程Ax By C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，ab

x2y2

且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程 1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：3 k2 k

1122；（2）若x,y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是____，x y的最小值是( 3, ) ( ,2)）22

___

2）

x2y2y2x2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2 =1，焦点在y轴上：2 2＝1（a 0,b 0）。方程abab

（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？ 5，2

x2x2y2

且与椭圆 则该双曲线的方程_______（答： y2 1）；（2）设中心在坐标原点O， 1有公共焦点，494

F2在坐标轴上，焦点F1、离心率e 2的双曲线C过点P(4, )，则C的方程为_______（答： x2 y2 6）

（3）抛物线：开口向右时y 2px(p 0)，开口向左时y 2px(p 0)，开口向上时22

x2 2py(p 0)，开口向下时x2 2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

x2y2

（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 1m 12 m22

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：( , 1) (1,)）

（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、

双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线

2232