高考压轴题（抛物线）

1、 (本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时

抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线

22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标

原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说

明理由.

2、（本小题满分12分）

已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．