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20 0 2年第 l期

中学数学教学

平均值不等式证明中的常用技巧 安徽铜陵财专胡松年 (邮编： 4 O ) 2 OO 4 算术一几何平均值不等式 (叉称平均值不等式 )是 指：

对于个正数。 . 2,有 1。 .一。 .

+

:

÷≥ (等号当且仅当Ⅱ=n一 n时成立) l 2 。均值不等式在初等数学教材中是一个重点和难点内容，它的广泛应用早被人们重视。现依据本人在平时学习和研究中得到的诸多启发.总结出均值不等式在实际解题中的一些常用技巧.列述于下，供参考。 1巧用常数 1 1常数的巧取 -

= .

于得1是( 2巧变项 2 1项的巧添 .

) (吉 >1 ) 。

例 4设 X, . 求证 l 2…z 6R,

j x

Z￣-等+。’- 23-2署 。 + Z+ ++ l z j -~ :

侧 1若 n、自、 c为然数.求证 n

证明在不等式的左边各项分别添加 x . …, 2z 。

‘嚣 ) ; . (

)c .(

≥—

XT二均不式+22,+, nl元值等要>z生 *由， g￣ 1 t3≥ X

证明 3 :上+++{+.{+…上+ —— ●—— _一

2…等 ≥,≥ , 2署 2 *一 上各式相加，原命题即得证。 2 2项的巧拆 .

÷…÷c b 7++≥+ c a+- — 一 .

.

倒 5设 z ., z为正整数，求证 ( 证明，。

。

舌 )乞 .砖 ) 再≥皇 。 6 . f _ _+

一≥—。 ’ 。 ≤

1 2常数的巧拆 .

例 2已知 X…=1且 z, 2…, n l2, 1X, I都是 正数.求证 ( 2+z )2 2…( 1(+z ) 2证明将常数 2拆成 1 .+1有 ) ≥3。

(寺

) .

2,=+++ k 1 l“≥3扎可= r 3 (=12… . . .,”)

例 6已知是大于 1自然数，的求证 2> 1+ n 。

号等一 z≥ 。 2 2 2 - _1+2一 ( n l )=2

将上述”个不等式相乘即得： (+z )2+x ) 2 2 1(" (+“) 2≥3 3。“

=

证明

+2

=2 1+…+ 。+2 (+2 2一1 =1 (+ 1+2+…+2 )一

1 3常数的巧

添 .

例 3已知∈N.求证

>l+

:: jj

=1√+

。

(高 ) ( ) 1 >1 。 分析从均值不等式着眼.即证

2 3项的巧凑 .

例 7设 n, 2。两两互不相等的正整数， ln…为 求证 a+一 +…+≥ l + 1+…+I 。

l

>√1音 ( ) 。

添乘常数因子 1即改正：,

1高 由均值不等式有

证 t誊+ (++参 )明+“ n )(+ = t

+++ )去…击 2++…( ~+++)( (≥ -1