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利用均值不等式求最值的方法

利用基本不等式求最值的方法

一、知识点精要：

1．基本不等式 （当且仅当a b时等号成立）

变形：（1）a b 或ab a 0,b 0，当且仅当a b时等号成立） x2 8

练习：求函数y (x 1)的最小值.

x 1

2．重要不等式 （a,b R，当且仅当a b时等号成立）

3.常见不等式（1） 若a 0，则a 1

a

（当且仅当a 1时等号成立）

若a 0，则a 1

a

（当且仅当a 时等号成立）

(2)2(a2

b2

) (a b)2

（a,b R，当且仅当a b时等号成立） 二、例题解法：1. 凑系数 例1. 当0 x 4时，求y x(8 2x)的最大值.

练习： 若0 x 2，求y x(6 3x)的最大值.

2. 凑项

例2. 已知x 1，求函数f(x) 2x 2

x 1

的最大值.

练习： 求函数y 1

x 3

x(x 3)的最小值.（思考：若条件改为x 6如何处理？）

3. 分离或换元

例3. 求y

x2 7x 10

x 1

(x≠ 1)的值域. 4. 整体代换

例4. 已知a 0，b 0，a 2b 1，求t 1a 1

b

的最小值.

练习：已知x 0，y 0，且

1x 1

y

9，求x y的最小值.

5.应用题

例5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

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