§5.4平面曲线的曲率 一、曲率的概念二、弧长的微分三、曲率的计算四、曲率圆与曲率半径

一、曲率的概念 不同的曲线或者同一条曲线的不同点处,曲线的弯曲程度可能不同,如何刻画曲线的弯曲程度?

一、曲率的概念在光滑弧上自点 M开始取弧段,其长为Δs,对应切线转角为Δ ,定义弧段Δs上的平均曲率 K=Δ Δs

点 M处的曲率 与切线的转角有关与曲线的弧长有关 M

M d Δ = dsΔs

M′Δ sΔ

K= lim M′ M′′

Δ s→0

Δ 3/ 21

注意:直线上任意点处的曲率为零 华东理工大学《数学分析》电子课件(§5.4)

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例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 .解:如图所示, Δ s= RΔ ∴ K= lim Δ s→0

二、弧长的微分设 y= f (x)在(a, b)内有连续导数,其图形为曲线 AB,弧长 s= AM= s (x) y

s′(x)=± 1+ ( y′) 2 所以弧长的微分公式为 ds=± 1+ ( y′) 2 dx

1Δ =Δs R

M′Δ Δ Δs R M

Δs M M′ M M′= Δx M M′Δx = MM′ (Δx) 2+ (Δy ) 2 MM′Δx

y= f (x) B M′ AΔy MΔx

或

ds=± (dx) 2+ (d y ) 2 y

o a

x

x+Δx

b x

几何意义:

ds= M T dy= sinα ds

可见: R越小,则K越大,圆弧弯曲得越厉害; R越大,则K越小,圆弧弯曲得越小 .

MM′Δy 1+ ( )2 MM′ΔxΔs∴ s′( x)= lim=± 1+ ( y′) 2Δx→0Δ x=± 5/ 21 华东理工大学《数学分析》电子课件(§5.4)

Δ x→0

lim

M M′=1 M M′

dx= cosα; ds

M

α o

dy dx x x+ dx x

T

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x= x(t )若曲线由参数方程表示: y= y (t ) 则弧长微分公式为 ds=±[ x′(t )]2+[ y′(t )]2 d t若曲线由极坐标方程表示:ρ=ρ (θ ) (α≤θ≤β ) x=ρ (θ ) cosθ且ρ′(θ )在[α,β]连续.化为参数方程: y=ρ (θ ) sinθ

三、曲率的计算设曲线弧 y= f (x)二阶可导,则由ππ tan = y′ (设 < < ) 得

K=

d ds

x= x(t )若曲线由参数方程 给出,则 y= y (t ) K= x′(t ) y′′(t ) x′′(t ) y′(t ) 3{[ x′(t )]2+[ y′(t )]2} 2

= arctan y′

2

2

d = (arctan y′)′ d x=

y′′ dx 1+ y′ 2

若曲线由极坐标方程ρ=ρ (θ )给出,则 K= 3 2

又

d s=± 1+ y′ dx 2

则弧长微分公式为

故曲率计算公式为

K=

y′′ (1+ y′ 2 )

2[ρ′(θ )]2 ρ (θ )ρ′′(θ )+ρ 2 (θ ){[ρ′(θ )]2+ρ 2 (θ )} 2 3

ds=±[(ρ (θ ) cosθ )′]2+[(ρ (θ ) sinθ )′]2 dθ=±ρ 2 (θ )+[ρ′(θ )]2 dθ

当 y′<< 1时,有曲率近似计算公式 K≈ y′′ 华东理工大学《数学分析》电子课件(§5.4)

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