§4.1导数的概念 一、导数的引入二、导数的定义三、导数的几何意义和物理意义

一、导数的引入 1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,求 t0时刻的瞬时速度， 运动时间Δt,取一邻近于t0的时刻t,

对于一般的变速直线运动：设物体的位移为s= s(t),则物体在时刻 t 0的瞬时速度定义为 t0 Δt v(t0 )= lim v= lim Δt→ 0Δt→ 0

平均速度 v=

Δs s s0 g= (t0+ t ).=Δt t t 0 2

t

ΔsΔt

当 t→ t0时,取极限得 瞬时速度 v= lim t→ t0

= lim

Δt→ 0

s (t0+Δt ) s (t0 )Δt

g (t0+ t )= gt0 . 2 华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.1)

它反映了在某时刻位移对时间变化的快慢程度.

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2.切线问题 求曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率.在曲线上另取一点M1(x0+Δx, y0+Δy),作割线MM1,设其倾角为 。观察切线的形成：

2.切线问题 求曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率.在曲线上另取一点M1(x0+Δx, y0+Δy),作割线MM1,设其倾角为 。观察切线的形成：当Δx→0时，动点M1将沿曲线趋向于定点M,从而割线MM1也将随之变动而趋向于切线MT。 y f(x0+Δx) y=f(x) M1 M1 M1 f(x0) O 华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.1)

二、导数的定义定义设函数y=f(x)在点 x0的某邻域内有定义,若极限 Δx→ 0

lim

f ( x 0+Δx) f ( x 0 )Δy= limΔxΔx→0Δx

此时割线MM1的斜率趋向于切线MT的斜率：

y f(x0+Δx)

y=f(x) M1

T

tanα= lim tan = lim Δx→ 0

M ) )α )) x0 x0+Δx x

ΔyΔx f ( x0+Δx) f ( x0 )= limΔx→ 0Δx Δx→ 0

存在，则称函数f(x)在点x0处可导，称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数(或微商),记为 f′(x0),即Δy f ( x 0+Δx ) f ( x 0 )= lim . f′( x 0 )= limΔx→ 0ΔxΔx→0Δx如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导.

T f(x0) O M )α ) x0 x0+Δx x

但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，记为 f′(x0)=∞. 华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.1)

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导数的其它符号： y′| x= x0,导数的其它定义式： f′( x0 )= lim Δx→ 0

dy dx

x= x0

或

df ( x) dx

x= x0 .

lim函数的导数： f′( x0 )=Δx→0

f ( x0+Δx) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )= lim x→ x0Δx x x0

lim函数的导数： f′( x0 )=Δx→0

f ( x0+Δx) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )= lim x→ x0Δx x x0

f ( x0+Δx) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )= lim x→ x0Δx x x0

例1.求函数y=x2在点x=2处的导数.解方法一， f′(2)= lim (2+Δx) 2 2 2 f (2+Δx) f (2)= lim

Δx→ 0Δx→ 0ΔxΔx= lim (4+Δx)=4. Δx→0

例2.设f ( x)= x( x 1)( x 2) ( x 100),求f′(0).解 f′(0)= lim x→0

注

1.函数——数量的变化极限——变化趋势导数——变化率(函数相对于自变量变化的快慢) (撇开实例所包含的具体内容,将其中的数学本质抽象出来作进一步的研究) 2.函数在某一点是否可导,只与该函数在这点附近的值有关. 华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.1)

f ( x) f (0) x 0 ( x 100)

= lim( x 1)( x 2) x→0

方法二， f ( x) f (2) x2 22 f′(2)= lim= lim x→2 x 2 x→2 x 2= lim( x+ 2)=4. x→2 华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.1)

= 100!

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