§2.3连续函数 一、连续的定义二、连续函数的性质和运算三、初等函数的连续性四、不连续点(间断点)的类型五、闭区间上连续函数的性质六、一致连续

一、连续的定义 y y

一、连续的定义

o

x0

x

o

x0

x

函数在x0点连续的定义若函数f ( x)在x0点的附近包括x0本身有定义,并且 lim f ( x)= f ( x0 ),就称 x→ x0

x→ x0

lim f ( x) 1.在x0附近定义; 2.极限存在 左右极限存在且相等

f ( x0 ) 在x0有定义

f ( x)在x0点连续,或者称x0点是f ( x)的连续点.

f ( x)在x0连续 lim f ( x)= f (lim x) x→ x0 x→ x0

ε> 0, δ> 0,使得 x∈ O( x0,δ )有 f ( x) f ( x0 )<ε limΔy= 0 Δx→ 0 华东理工大学《数学分析》电子课件(§2.3)

( x= x0 ). 华东理工大学《数学分析》电子课件(§2.3)

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一、连续的定义 函数在x0点左连续的定义若函数 f ( x)在x0点的左边附近包括x0本身有定义,并且 lim f ( x)= f ( x0 ), x→ x0-0

一、连续的定义 y

函数在区间上连续 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续. 函数 f ( x)在区间I连续 x0∈ I, ε> 0, δ> 0, s.t., x∈ O( x0,δ )∩ I有 f ( x) f ( x0 )<ε

例1试证函数 f ( x)= 处连续.

1 x sin, x≠ 0,在x= 0 x 0, x= 0,

就称f ( x)在x0点左连续.函数在x0点右连续的定义若函数 f ( x)在x0点的右边附近包括x0本身有定义,并且 lim f ( x)= f ( x0 ), x→ x0+ 0

o y

x0

x

证

∵ lim f ( x)= lim x sin x→0 x→0

1= 0, x

又 f (0)= 0,∴ lim f ( x)= f (0), x→0

由定义知 函数 f ( x)在 x= 0处连续.

就称f ( x)在x0点右连续.

o

x0

x

从几何上看 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 5/ 56 华东理工大学《数学分析》电子课件(§2.3)

f ( x)在x0连续 f ( x)在x0既左连续又右连续 华东理工大学《数学分析》电子课件(§2.3)

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例2讨论函数 f ( x)= 连续性.

x+ 2, x≥ 0,在 x= 0处的 x 2, x< 0,

例3证明函数 y= sin x在区间( ∞,+∞)内连续. lim证任取 x∈ ( ∞,+∞),下证Δx→0 sin( x+Δx)= sin x.ΔxΔx cos( x+ ) 2 2ΔxΔx∵ cos( x+ )≤ 1,∴Δy≤ 2 sin . 2 2

x例4证明y= a (a> 0)在( ∞,+∞)内连续

证先证a x在x= 0时连续，即证 lim a x= lim a x=a 0= 1 x→0+ 0 x→0 0 由 lim a n= 1可证得 lim a x= 1 n→∞ x→0+ 0 1

Δy= sin( x+Δx) sin x= 2sin

事实上，当a> 1时， ε> 0, N∈,使 0< a N 1<ε,取δ

= 1 1,则 x∈ (0,δ )有0< a x 1< aδ 1= a N 1<ε . N

1

解

x→0+ 0

lim f ( x)= lim ( x+ 2)= 2= f (0), x→0+ 0

x→0 0

lim f ( x)= lim ( x 2)= 2≠ f (0), x→0 0

对任意的α,当α≠ 0时,有 sinα<α, 故Δy≤ 2 sinΔx<Δx,∴当Δx→ 0时,Δy→ 0. 2

当a= 1时

当0< a< 1时， x

在x=0处右连续但不左连续, 故函数 f ( x)在点 x= 0处不连续.

1 lim a x= lim a x= lim = 1 x→ 0-0 x→ 0+0 x→ 0+0 a 下证a x在任一点x0连续，即证 lim a x= a x0 x→ x0 x→ x0

即函数 y= sin x对任意 x∈ ( ∞,+∞)都是连续的. 华东理工大学《数学分析》电子课件(§2.3)

lim a= a lim a x x0 x→ x0

x x0

= a lim a t= a x0 x0 t→0

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