2012年高中数学教案：《直线与椭圆的位置关系》(苏教版)
《直线与椭圆的位置关系》案例分析
溧阳市戴埠高级中学 卞康林
解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便。它的基础是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。从下面几个关于直线与椭圆位置关系问题中可略见一斑：
一、公共点问题
通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此
x2y2
例1、判断直线kx y 3 0与椭圆 1的位置关系 164
y kx 3 解：由 x2可得(4k2 1)x2 24kx 20 0 16(16k2 5) y2
1 164
x2y2 1相交 （1）当 16(16k 5) 0即k 时，直线kx y 3 0与椭圆或k 164442
x2y25 1相切 （2）当 16(16k 5) 0即k 时，直线kx y 3 0与椭圆或k 164442
x2y25 1相离 （3）当 16(16k 5) 0即 时，直线kx y 3 0与椭圆 k 164442
x2y2
1恒有公共点，求实数m的取值范围 例2、若直线y kx 1(k R)与椭圆5m
解法一： y kx 1 22由 x2可得(5k2 m)x2 10kx 5 5m 0， m 5k 1 0即m 5k 1 1 y2
1 m 5
m 1且m 5
解法二：直线恒过一定点(0,1)
当m 5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b 当m 5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a
综述：m 1且m 5
解法三：直线恒过一定点(0,1) m，要使直线与椭圆恒有交点则m 1即1 m 5 可保证直线与椭圆恒有交点即m 5
0212
1即m 1 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部5m
m 1且m 5
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