2012年人教大纲版高考题库考点11 数列的综合应用
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考点11 数列的综合应用
一、解答题
1.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）（12分）函数f(x) x2 2x 3，定义数列 xn 如下：x1 2，xn 1是过两点P(4,5)，Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：2 xn xn 1 3； （Ⅱ）求数列 xn 的通项公式.
【解题指南】本题（Ⅰ）先求出直线PQn的方程，然后利用数学归纳法进行证明，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的相关结论写出数列的递推公式，根据递推公式的结构特征，构造新数列，求数列 xn 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明2 xn＜xn+1＜3. （ⅰ）当n 1时，x1 2，直线PQ1的方程为y 5 令y 0，解得x2
11
，所以2 x1 x2 3. 4
f(2) 5
(x 4)， 2 4
（ⅱ）假设n k时，结论成立，即2 xk xk 1 3， 直线PQk 1的方程为y 5 令y 0，解得xk 2
f(xk 1) 5
(x 4)，
xk 1 4
3 4xk 1
. 2 xk 1
由归纳假设知， xk 2
xk 2 xk 1
3 4xk 155
4 4 3， 2 xk 12 xk 12 3
(3 xk 1)(1 xk 1)
0，
2 xk 1
