3.7导数的极值
用极值来找最大值
§3—7 函数的极值
一、学习目标
理解并掌握函数极值的概念；会求某些函数的极值；会用极值知识解决一些实际问题．
二、重点难点
本节重点：可微函数的极值与最值．
极值定义：设函数y ＝f（x）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 f（x）＜f（x 0），则称f（x 0）是函数y ＝f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x 0）；如果对x 0附近的所有点，都有f（x）＞f（x 0），则称f（x 0）是函数y ＝f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x 0）．极大值与极小值统称为极值．
判别方法：当函数y ＝f（x）在点x0处连续时，判别f（x 0）是极大（小）值的方法是：如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f（x 0）是极大值．
如果在x 0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x 0)＞0，那么f（x 0）是极小值．
本节难点：对可导函数，f′(x 0)＝0只是x 0点为极值点的必要条件．例如，y ＝x 3，在x ＝0时f′(0)＝0，但x ＝0处非极值点；对某点不可导函数，该点也可能为极值点，例如：f（x）＝| x |，x ＝0是极小值，但x ＝0时，函数不可导．
三、典型例题
1．怎样用一阶导数求函数的极值：
例1求下列函数的极值：
（1）y ＝x4－8 x 2 ＋2
－
（2）y ＝x 2ex 【解】（1）y′＝4 x3－16 x，
令y′＝0，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2． 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
极大值当x ＝±2时，y有极小值，y极小值＝－14．
－－－
（2）y′＝2 xex－x 2 ex＝ex（2 x －x2）． 令y′＝0，解得x1＝0，x2＝2．
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