【数学】高考数学复习点拨：数学归纳法解题
数学归纳法
数学归纳法解题
山东 陈诚
数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N且a、b、c
nnn
互不相等时，均有：a+c＞2b.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a－c)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而a＞a·c+c·a.
证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=
bq
nn
*
kkk+1
+c
k+1
kk
bq
,c=bq(q＞0且q≠1)
∴a+c=
nn
+bnqn=bn(
1q
n
+qn)＞2bn
a
n
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，＞
14
a
k 1
c2
n
＞(
a c2
)(n≥2且n∈N)
n*
222
a
2
c2
2
(
a c2
)
2
a
k
c2
k 1
k
( 14
a c2
),
k
c2
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) (ak+ck)(a+c)
(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
)k·(
a c2
14
＞(
a c2
)=(
a c2
)k+1
12
［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；
成等比数列.
(2)用数学归纳法证明所得的结论；
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、等基础知识.
知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，Sk=－
12k 3
应舍去，这一点往往容易被忽视.
1S1
1
技巧与方法：求通项可证明{公式.
1Sn
}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项
2
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