这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!

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高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

551. 已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长.

解析：如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面BCC'B'⊥底面ABC，∴AD⊥侧面

BCC'B'B'D是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴B'D⊥BC′.

设BB′＝x，在RtΔB'BD中，BE∶BD＝BB'，B'D＝ x. ∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝∴x＝

13

13

2

BC′＝

13

4 x

2

x·

2

x 4，解得：x＝2.∴线段AB′在侧面的射影长为2.

2

552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ. 证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为

D.

∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC. ∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝θ.

证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.

553. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.

证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MN α，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.

即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.

554. 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.

解析：不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了.

证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝3.

AA1A1C1

12

A′D·BC，S＝

12

AD·BC，cosθ＝

A DAD

,∴S′＝S·cos

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β∴ tanα＝＝

63

＝2

,