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线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第七单元

习题7.1

1.下列系统(V,P, , )是不构成线性空间?

(1)V {a,b,a,b, ,a,b|a,b R},P 实数域," "与" "为R中的加法与数乘;答:代构成一个线性空间.

因为V对" "与" "都封闭,并且" "与" "满足线性运算的八条公理.

n

(2)V a1,a2, ,an| a1 1,ai r ,P 有理数域,

i 1

" "与" "为R中的加法与数乘;答:V不构成一个线性空间.

因为在V中没有零元,当然V对" "与" "都不可能封闭,故V不构成线性空间.

n

(3)V {3阶实对称矩阵的全体},P 有实域," "与" "为矩阵的加法与数乘;答:V构成一个线性空间.

因为V对" "与" "都封闭,并且" "与" "满足线性运算的八条公理.

(4)V {n阶可逆矩阵的全体},P 实数域," "与" "为矩阵的加法与数乘;答:V不构成一个线性空间.

因为在V中没有零元,当然V对" "与" "都不可能封闭,故V不构成线性空间.

n

2.下列集合W是否构成R的子空间?(1)W {(a1,a2, ,an)|a1 a2 0,ai R};答:W构成R的一个子空间.

因为W对R中的加法和数乘都封闭,W不空,所以W构成R的一个子空间.

n

n

n

(2)W {(a1,a2, ,an)|a1 a2 0,ai R};答:W不构成R的子空间.

因为在W中没有零元,当然W对R中的加法与数乘都不可能封闭,故V不构成线性空间.

n

n

n

(3)W {k1 1 k2 2| 1, 2 R,k1,k2 R,当k1,k2不全为零时,k1 1 k2 2 0};答:W构成R的一个子空间.

因为W其实就是R中两个线性无关向量 1, 2所生成的线性子空间.

n

n

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