2009年南京大学数学基地班自主招生考试数学试题解析
2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题及解析
一、填空题（每小题7分，共70分）
1．已知n为一正整数，并且2n 1能被7整除，则n的所有取值为________． 【答案】n 3k(k N*) 【解析】当n 3k(k N*)时，
1k 1
2n 1 23k 1 8k 1 (7 1)k 1 7k Ck7 Ckk 17．
2．不等式(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24的解是________． 【答案】{x|x 0，或x 5} 【解析】原不等式等价于
(x 1)(x 4) (x 2)(x 3) 24 (x2 5x 4)(x2 5x 6) 24 (x2 5x 5)2 1 24 (x2 5x 5)2 25 x2 5x 5 5(1)orx2 5x 5 5(2)
由（1）得：x ；由（2）得：x 0，或x 5， 故原不等式解集为{x|x 0，或x 5}．
3．设z是一模长大于1的复数，并且满足 【答案】2(cos isin ) 【解析】依题意知
155i
cos sin ，则z=________． z22
51 z 1|z|2 1|z|2 1
| | || || ， 2zzz|z|
注意到|z| 1，所以|z| 2．
设z x yi(x,y R)，由|z| 2知x y 4，所以，
2
2
11x yi
(x yi) (x yi) 2zx yix y2
x yi55
(x yi) x yi
444
从而，
x 2cos 5555i
x yi cos sin ， 4422 y 2sin
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