排列组合二项式定理和概率

Ⅰ、随机事件的概率

例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？

例2 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）

Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率

例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率； （2）至少有1件次品的概率.

例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.

Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率

例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.

例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.

Ⅳ、概率内容的新概念较多，易犯错误： 类型一 “非等可能”与“等可能”混同

例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=

111

类型二 “互斥”与“对立”混同

例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）

A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解 A

类型三 “互斥”与“独立”混同

例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?

错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：

c22 0.2 c2230.830.7 0.3 0.825

解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169

四、高考题选讲

1 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题. （Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

2 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.

3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）. （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；

（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？

4 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

5. 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为45

，每位男同学能通过测验的概率均为

3

5

.试求： （1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（2）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

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