第二章圆锥曲线椭圆

知识点归纳

1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 数学符号形式：___________________

②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆数学符号形式：___________________

2.椭圆参数的几何意义，如图所示： （

1

）

|PF1|+|PF2|=____

，

|PM2|+|PM1|=_____

，

|PF|=|PF； 12|=________|PM1||PM2|

（2）

A1F1 A2F2 _____,A1F2 A2F1 ____；_____ PF1 _____

3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式: ______________和____________(a

b 0)其中c ______2

椭圆x2 y2 1(a b 0)准线方程是__________，离心率是_______， a2b2

的焦点坐标是________，______________，长轴长=_____，短轴长=______，焦距＝______ ， 焦半径：

PF1 _________________，PF2 ___________.

4. PF1F2中经常利用余．弦定理．．．、三角形面积公式．．．．．．． 5.椭圆上的点有时常用到三角换元： x acos ；

y bsin

题型讲解

例1已知椭圆的焦点是F1(0, 1),F2(0,1),直线y 4是椭圆的一条准线.

① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且PF1 PF2 1

,求 F1PF2的余弦值.

例2 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

如下图，设E：x2y2

例3 a2+b

2=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2

的面积S=b2tanθ.

例4 已知椭圆x24 y2

3

=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离

是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项?

例5 设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e .已知点2P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距

离为7,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于

7的点的坐标.

小结：椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：

（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.

易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ=

c

=e

. a