立体几何中的割补法解题技巧

邹启文

※ 高考提示

立体几何中常用割补法解题.特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解,有时解起来还比较容易.

※ 解题钥匙

例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为（ ）

A、221 B、 C、 422 D、 2

分析：求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局

限性显然不太好做垂线，考虑O为A1C1的中点，故将要求的距离

与A1到面AC1D1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该

图中割出一个三棱锥A1—AC1D1而进行解题。

解：连AC1，可得到三棱锥A1—AC1D1，我们把这个正方体的其

它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为

这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与2的直

角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C1—AA1C1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为2，故应选B。 2

例2 （2007湖南高考，理8）棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1 的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1、DD1的中点，

则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A、22 B、1 C、1+ D、2 22

分析：在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得

复杂而烦琐，而又考虑到面A1ADD1截得的球的截面为圆，且EF

在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。

解：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，依题O亦为此正方体的中心，补侧面 AD1为平面AD1，球0截平面A D1可得圆锥0—AD1（如下图），

其底面圆心正为线段AD1之中点，亦为线段EF之中点，割去正方体和球 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段

长就等于这个圆锥底面圆的直径AD1之长，故选D。

例3 （2005全国高考I，理5）如图，在多面体ABCDEF中,已知

ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形。

EF‖AB，EF=2，则多面体的体积为（ ）