拉普拉斯方程的解
拉普拉斯方程的解——分离变量法 一. 拉普拉斯方程的适用条件 1. 空间处处 0 ,自由电荷只分布在某些介质(如导体)表面上， 将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。 2. 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空 中，产生的势为已知。 ① 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势
0 。
② 若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。 则区域 V 中电势可表示为两部分的和
0
不满足 2 0 ,但 使 2 0 满足，仍可用拉普拉斯方程求解。 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S 。
二. 拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1. 直角坐标
2
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
令 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y)Z ( z )
d 2 X 2 X 0 dx d 2Y 2 Y 0 dy d 2Z 2 Z 0 dz 一般令
0
k12
2 k 2
2 k12 k 2 k 2
X ( x) Aek1x Be k1x 若考虑了某些边界条件(有限边界) k y k y k1 , k 2 , k 均与某些正整数有关，它们 Y ( y ) Ce 2 De 2 2, Z ( z ) E sin kZ F cos kZ 均可取 1, …通解还要求取和后才 行。
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