数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案
第三章
调和
方
程
§1
建立方程
定
解
条
件
1．设u(x1,x2, ,xn) f(r)(r
x12 xn2)是n维调和函数（即满足方程
2u
2u
x2
0）
，试证明1
xn
2f(r) c1
c2r
n 2
(n 2)
f(r) c1
1 c2In
r
(n 2)
其中c1,c2为常数。证：
u f(r), u f'(r) r
f'(r) xi xi xir
2u
"
xi2
'
xi2 xi2 f(r) r
(r) 1r f'
2 f(r) r3n
n
2u
xi2
n
xi2
f"
(r)
i 1
')
n
f'(r) i 1i 1
xi
2
r
2
f(rrr
3 f"(r)
n 1r
f'
(r)即方程
u 0化为
f"(r)
n 1r
f'
(r) 0f"(r)n 1f'(r)
r
所以
f'(r) A1r (n 1)
若n 2，积分得
f(r)
A1
n 2
r n 2 c1即n 2，则
f(r) cc1
2rn 2
若n 2，则
f'(r)
A1r
故
f(r) c1 A1Inr即n 2，则
f(r) c11 c2In
r
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标(r, , )下，可以写成
u 1
2 u1 u1 2 u
r2 r(r r r2sin (sin ) r2sin2
2
0
证：球坐标(r, , )与直角坐标(x,y,z)的关系：
x rsin cos ，y rsin sin ，z rcos
（1）
222 u
u x
2
uu y
2
z2
为作变量的置换，首先令 rsin ，则变换（1）可分作两步进行
x cos ，y sin
（2） rsin ，
z rcos
（3）
由（2）
u u xcos u ysin
u
u x( sin ) u
y( cos )
由此解出
u u x cos usin
u u ucos
（4）
y sin
再微分一次，并利用以上关系，得
