09 第九节 差分方程
差分方程
第九节 差分方程
迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.
分布图示
★ 引言 ★ 差分的概念 ★ 差分方程的概念 ★ 例6 ★ 一阶常系数线性齐次差分方程 ★ 一阶常系数线性非齐次差分方程
★ 例9-14 ★ 例15
★ 二阶常系数线性差分方程
★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解
★ 例17 ★ 例18
★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解
差分方程在经济学中的应用
★ 模型1 ★ 模型2
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-9
★ 例1-5 ★ 例7
★ 例16
★ 例19 ★ 例20-23 ★模型3
内容要点
一、差分的概念与性质
一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用离散型的变量y，我们常取在规定的时间区间上的差商择 t 1，则
y y(t 1) y(t) 可以近似表示变量y的变化率. 由此我们给出差分的定义.
定义1 设函数yt y(t). 称改变量yt 1 yt为函数yt的差分, 也称为函数yt的一阶差分, 记为 yt, 即
yt yt 1 yt 或 y(t) y(t 1) y(t).
一阶差分的差分称为二阶差分 2yt, 即
dy
来刻画的；对dt
y
来刻画变量y的变化率. 如果选 t
2yt ( yt) yt 1 yt
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