第九节 差分方程

迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.

分布图示

★ 引言 ★ 差分的概念 ★ 例1-5

★ 差分方程的概念 ★ 例6 ★ 例7

★ 一阶常系数线性齐次差分方程

★ 一阶常系数线性非齐次差分方程

★ 例9-13 ★ 例14 ★ 例15

★ 二阶常系数线性差分方程

★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解

★ 例16 ★ 例17 ★ 例18

★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解

★ 例19 ★ 例20 ★ 例21

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8-9

内容要点：

一、 差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用

dt dy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商

t y ∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果选择1=∆t ，则

)()1(t y t y y -+=∆

可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.

定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即

t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.

一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即