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22【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：数学归纳法

数学归纳法

22【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：数学归纳法

是f(k)＋k＝f(k＋1)．

4．用数学归纳法证明当n∈N*时1＋2＋22＋23＋ ＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是____________．

解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出．

答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 42n＋n5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n2＝2n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．

解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋ ＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋ ＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋ ＋(k＋1)2.

答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋ ＋(k＋1)2

6．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

3715解：(1)a1＝1，a2＝2a34a4＝8

2n－1由此猜想an＝n－1(n∈N*)． 2

(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．

假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，结论成立，

2k－1即ak＝－ 2

那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1.

∴2ak＋1＝2＋ak，

2k－12＋k－122＋ak2k＋1－1∴ak＋1＝2＝2 2

这表明n＝k＋1时，结论成立．

2n－1∴an＝－(n∈N*)． 2

练习

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