第23卷 第9期

文章编号：1006-9348（2006）09-0100-03

计 算 机 仿 真

2006年9月

PDE工具箱实现偏微分方程的有限元求解

黄作英，阙沛文，陈亮

（上海交通大学电子信息学院，上海200030）

摘要：偏微分方程在科学和工程上有着广泛的应用。有限元法是一种重要的偏微分方程数值解法。编程实现从偏微分方程到有限元求解全过程需要很好的理论基础和编程技巧，难度较高。该文介绍了偏微分方程有限元求解的基本理论和一般Neumann条件下椭圆型方程的有限元求解具体过程，并通过两个实例，电机磁场问题和热传导问题，介绍了使用PDE工具箱实现偏微分方程的有限元解法。实验结果表明这一方法具有操作简单明了，运算速度快，计算误差可控制等优点。关键词：偏微分方程；有限元法；数值解法中图分类号：TP391.9 文献标识码：A

SolutionofPartialDifferentialEguationbyFEMinPDEToolbox

HUANGZuo-ying，OUEPei-wen，CHENLiang

（CoIIegeofEIectronicsandInformation，ShanghaiJiaotongUniversity，Shanghai200030，China）

ABSTRACT：PartiaIdifferentiaIeguationiswideIyusedinprobIemsofscienceandengineering.FiniteeIementmethod（FEM）isanimportantnumericaIsoIutionmethodofpartiaIdifferentiaIeguation.GoodtheoryfoundationandprogrammingskiIIarenecessaryforprogrammingtosoIvepartiaIdifferentiaIeguationbyFEMmethod.ThisarticIein-troducesthebasictheoryofFEMmethodforsoIvingpartiaIdifferentiaIeguationandthesoIutionproceduretoeIIipticpartiaIdifferentiaIeguationunderNeumannboundarycondition.TwoexampIes，magneticprobIemofmotorandheatexchangeprobIem，aresoIvedinPDETooIbox.TheresuItsshowthatthismethodiseasytohandIeandeasytocontroItheerrorwithfasteroperationspeed.

KEYWORDS：PartiaIdifferentiaIeguation；FiniteeIementmethod（FEM）；NumericaIsoIutionmethod

1 引言

偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景，科学和工程中的大多数问题在数学上是由偏微分方程描述的，很多重要的物理力学学科的基本方程本身就是偏微分方程，人们用偏微分方程来描述，解释或者预见各种自然现象并用于科学和技术的各个领域，随着计算机技术的飞速发展，数值方法已经成为一种越来越重要的工具。编制高效的程序求解各种偏微分方程已成为可能，偏微分方程数值解法也成为科学或工程计算的重要分支。

对于理论研究和实际应用中提出的偏微分方程问题，由于其边界和边界条件复杂等原因，寻求解析解是非常困难甚至是不可能的，利用计算机研究相应问题的数值解法是十分必要的。编程实现从偏微分方程数值求解全过程需要很好的理论基础和编程技巧，以有限元法为例，求解要经过等价解的导出，区域划分及多项式选取，单元刚度矩阵，单元载荷向量的形成，总刚度矩阵和总载荷向量的组装，求解等多个

基金项目：国家“十五”863课题（2001AA602021）资助收稿日期：2005-05-15

步骤。本文介绍了利用PDE工具箱对偏微分方程的有限元求解，借助于这个工具，我们可以从繁琐，共性的求解步骤中解脱出来而专注于问题的核心即问题的描述，定义及简化，边界条件的确定，求解方法和精度控制的选择等，从而大大提高了求解效率。

2 偏微分方程的有限元解法

2.1 问题

偏微分方程可根据它们的数学特征分为三大类型即椭圆型方程，抛物线型方程和双曲型方程。它们表示如下：

椭圆型方程：

-V （cVu）+au=（在f!域中）

域上的实或复函数；

抛物型方程：

d

Su

-V （cVu）+au=（在f!域中）St

（1b）（1a）

c，a，f以及未知函数u是定义在!!是平面有界区域，

双曲型方程：

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