不等式中一元二次不等式,高次,分式不等式解法步骤。及不等式恒成立问题及根的分布习题

必修五第三章第一讲 不等式的解法 一、知识要点： 知识要点： 1.不等式相关知识： 1.不等式相关知识： 不等式相关知识 (1)如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做 )如果两个不等式的解集相等， ,解不等式主要是依据 原理，求解原不等式的同解不等式。 和 原理，求解原不等式的同解不等式。 (2)不等式的同解变形原理主要有： )不等式的同解变形原理主要有： 不等式两边都加上(或减去 同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。 或减去)同一个数或同一个整式 ①、不等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。 不等式两边都乘上(或除以 同一个正数或同一个大于零的整式， 或除以)同一个正数或同一个大于零的整式 ②、不等式两边都乘上 或除以 同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式 同解。 同解。 不等式两边都乘以(或除以 同一个负数或同一个小于零的整式 并把不等号改变方向后， 或除以)同一个负数或同一个小于零的整式， ③、不等式两边都乘以 或除以 同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后， 所得不等式与原不等式同解。 所得不等式与原不等式同解。 一元二次不等式的解法：一变、二算、三想、四解、 2.一元二次不等式的解法：一变、二算、三想、四解、五写 2 Ⅰ、 ax + bx + c > 0( a > 0) : ; = 0 ; < 0 ; 2 Ⅱ、 ax + bx + c < 0( a > 0) : >0 ; = 0 ; < 0 ; 高次不等式的解法： 利用“序轴标根法” 3.高次不等式的解法：化成 P ( x) = ( x x1 )( x x 2 ) L ( x x n ) > 0(< 0) ,利用“序轴标根法”写 出解集。 注意： (注意 前的系数都为正值。 出解集。 注意：每个因式中 x 前的系数都为正值。 ( ) 步骤： 将每个因式的根标在数轴上； 能取到的根用点，不能取到的用圈) (能取到的根用点 步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上； 能取到的根用点，不能取到的用圈) ( 从右上方依次通过每个点画出曲线 注意： 过每个点画出曲线， ⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意： 值的符号变化写出不等式的解集。 ⑶根据曲线显示的 P (x ) 值的符号变化写出不等式的解集。 分式不等式的解法：同解变形为整式不等式； 4.分式不等式的解法：同解变形为整式不等式；

2.不等式 例 2.不等式

x 1 2 ≥ 2 的解集是 > 2 的解集是 变式 2:不等式 x + x x +1 x ( x + 2) 2 2 < 0 的解集是 例 3. 变式 3. ( x 1)( x 4 x 12) < 0 解集 x 3 x2 1 < 0 4.不等式组 例 4.不等式组 2 的解集是 变式 4: 3 <| 2 x 3 |< 5 的解集是 x 3x < 0

5x 2

8x + 3 解下列不等式： (1) (2) ≥ 1. 例 5 解下列不等式： ) (2 x 3 x + 1)(3 x 5 x + 2) ≤ 0 ; ) 2 ( ( 3x 5 x + 2 2 2 2 2 的不等式： (1) 例 6 解关于 x 的不等式： ) x 2ax 3a > 0( a ∈ R ). (2) ax ( a + 1) x + a < 0( a ≠ 0). ( ) x 7.解关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2)>0. 例12 解关于x的不等式： <1-a(a∈R) . 解关于 - - > . x 1 2 2

>0

2.不等式与集合运算： 2.不等式与集合运算： 不等式与集合运算 2 2 1.已知集合 例 1.已知集合 M = {x | x 3 x 28 ≤ 0}, N = {x | x x 6 > 0} ,则 M I N 为 2 变式 1:已知集合 M = {x | 0 ≤ x < 2}, N = {x | x 2 x 3 < 0} 则 M I N 为 例 2.已知集合 P = {x || x 1 |≤ 1, x ∈ R}, Q = {x | x ∈ N } 则 P I Q 等于 2.已知集合 2 变式 2:已知集合 A = {x ∈ R | x x 6 < 0}, B = {x ∈ R || x 2 |< 2}, 则A I B = 3.由不等式的解集确定参数 3.由不等式的解集确定参数 2 2 的解为 例 1 若不等式 ax + bx + c > 0 的解集为 {x | m < x < n}(0 < m < n) 求 cx + bx + a < 0 的解为

;

变式 1. 已知不等式 ax + bx + 2 > 0 的解集是 {x | 2

1 1 < x < } ,则 a b = 2 3

f ( x) >0 g ( x) f ( x) ≥0 ⑶ g ( x) ⑴ 6.指数不等式与对数不等式 (1)当 (1)当 a > 1 时, a f ( x)

f ( x) <0 g ( x) f ( x) ≤0 ;⑷ g ( x) ;⑵

;

例 2. 已知不等式

ax < 1 的解集为 {x | x < 1或x > 3} 则 a 的值为 x 1 变式 2:若不等式 | ax b |< 2( a ≠ 0, b > 0) 的解集是 {x | 1 < x < 5} ,则实数 a =

b=

;

4.一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题 得出 f(x) = ax + b (a ≠ 0) x ∈ [m, n] 时 f ( x )>0 恒成立

>a

g ( x)

f ( x) > 0 f ( x) > g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 . f ( x) > g ( x ) f ( x) > 0 f ( x) < g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 f ( x) < g ( x)

f ( m)>0 f(n)>0 f(m)<0 f(x)<0 恒成立 f(n)<0

(2)当 0 < a < 1 时, a (2)当

f ( x)

> a g ( x)

3x 2 + 2 x + 2 > m 恒成立，求 m 的取值范围。 恒成立， 的取值范围。 例 1 对任意 x ∈ R , x2 + x +1 2.已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2 ≤ 0},若B A,求a的范围. 已知集合 = + ≤ 与 = + +

6.不等式组的解法：分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后求其交集，即为这个不等式 .不等式组的解法：分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后求其交集， 式的解集 组的解集，在求交集的过程中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 组的解集，在求交集的过程中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

三、巩固练习 2.与不等式 2.与不等

式

二、考点解析 1.不等式的解法： 分式，高次，含参数不等式) 1.不等式的解法： 分式，高次，含参数不等式) 不等式的解法 ( 1.不等式 例 1.不等式

x 3 的解集相同的不等式是( ≥0 的解集相同的不等式是( 2 x B. x 3 ≤0 x 2

)

2x 1 > 0 的解集是 3x + 1

变式 1:不等式

1 2x > 0 的解集是 x +1

A.( x 3)( x 2) ≥ 0

C.

2 x ≥0 x 3

D.( x 3)( x 2) > 0