第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、已知A(1,2,3)，B(2, 1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程. 解：设M(x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有|MA| |MB|,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42,
化简得所求方程2x 6y 2z 7 0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则
M(x,y, z)
亦即 C M z
(x 4)2 y2 z2 z (x 4)2 y2 0
从而所求的轨迹方程为(x 4)2 y2 0.
3、 求下列各球面的方程：
（1）圆心(2, 1,3)，半径为R 6； （2）圆心在原点，且经过点(6, 2,3)； （3）一条直径的两端点是(2 3,5)与(4,1, 3)；（4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0, 4) 解：（1）所求的球面方程为：(x 2) (y 1) (z 3) 36 （2）由已知，半径R
2
2
2
62 ( 2)2 32 7，所以球面方程为x2 y2 z2 49
（3）由已知，球面的球心坐标a 球的半径R
2 4 3 15 3
3,b 1,c 1， 222
1
(4 2)2 (1 3)2 (5 3)2 21，所以球面方程为： 2
(x 3)2 (y 1)2 (z 1)2 21
（4）设所求的球面方程为：x y z 2gx 2hy 2kz l 0
2
2
2
l 0 l 0
h 1 16 8g 0
因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0, 4)，所以 解之得
g 210 2g 6h 0
k 2 16 8k 0
所求的球面方程为x2 y2 z2 4x 2y 4z 0.
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