例谈立体几何中的转化

立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。 1、

位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例1 已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。 分析：∵A、E、F三点不共线，AF⊥SC， ∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF， 只要证SC⊥AE（如图1）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB， ∴SB是SC在平面SAB上的射影。 ∴只要证AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例2 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形 折成二面角A－EF－C1(如图－2)。求证：平面AB1E∥平面C1DF。 分析一（纵向转化）：

∵AE∥DF，AE 平面C1DF，

∴ AE∥平面C1DF.同理，B1E∥平面C1DF， 又AE∩B1E＝E，∴平面AB1E∥平面C1DF。 分析二（横向转化）：

∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E＝E，∴EF⊥平面C1DF。 同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。 2、降维转化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的

平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。 例3 如图-3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=

S

B

1 B E 图－ A

C

CD

图－2

2，BB1=2， ABC 90 ，E、F分别为AA1、

C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。

3

2 2

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。 例4 如图-4直四棱柱ABCD

是直角，A1B1C1D1中，AA1 2，底面ABCD是直角梯形，∠A图-3 AB||CD，AB=4，AD=2，

示）

DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表解：由题意AB//CD，

C1BA是异面直线BC1与DC所成的角.

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H， 得 CHB

AC ，

90 ,CH 2,HB 3, CB

图-4

又在Rt CBC1中，可得BC1

，