函数的奇偶性与周期性

导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．

自主梳理

1．函数奇偶性的定义

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．

2．奇偶函数的性质

(1)f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝____； f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)＝f(|x|) f(x)－f(－x)＝____.

(2)f(x)是偶函数 f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数 f(x)的图象关于___ 对称．

(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．

3．函数的周期性

(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．

TT

(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋2＝f(x－2．

②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．

③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x11

＋a)＝f(x＋a)＝－a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周

f x f x 期函数．

自我检测

1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[7，－3]上是 ( )

A．增函数且最小值是－5 B．增函数且最大值是－5 C．减函数且最大值是－5 D．减函数且最小值是－5