《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(100221)

一、单项选择（每小题2分，共10分）

1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 二、填空题（每小题2分，共12分）

1.800, 2.O, 3. 4, 4. y 2z 0, 5. 4I, 6. 5. 三、计算题（每小题10分，共30分）

1

1.解 A ( 1, 2, 3, ) 0

1

1 1 1 1 1 1

221 0221 0

0 101 2 0 21

11

向量组秩为3， 8分 1 2 3 10分

22

1

1

010

001

1/2

1/2， 6分

1

1 1 12

2

( 1)( 3)，特征值为 1 2 1,

2.解 | I A|

40

30 1 20

3 3 4分

3 2 0 0

100

0 1

1,特征向量 k2(k 0)， 6分 0 0

2

当 1时,I A 4

0 1 2 2 1

4

当 3时,3I A 4

0

1 101/2 1

02 01 3,特征向量 k6(k 0)， 8分

00 0 00 2

A只有两个线性无关的特征向量，因此A不可与对角矩阵相似。 10分

t1

1 t 0 |t| 1， 5分

2

t 1 1

3.解 二次型对应的矩阵A t１2 3分 P1 1 0,P2

t 12５

1P3 t

1

t12

1

2 t(5t 4) 0 5

45

t 0 8分 故二次型为正定的充要条件为

45

t 0。 10分

四、计算题（每小题8分，共24分）

1.解 u v (2a 3b) (a b) 2||a||2 a b 3||b||2 9,

||v|| (a b) (a b) ||a|| 2a b ||b||

3

2

2

2

, Prjvu

u v||v||

(3+3+2)

i j1 1

k

i j 13

k

2 (5, 1,3) 6分 1

2.解 s 1

1

0 (1, 1, 2), 3分 n1 (0,3,1), n s n1 1

10

所求的平面方程 5x y 3z 6 0。 8分

1

1a1

a

1 (a 2)(a 1) 0 a 1,a 2。 3分 1110

2 10

1

0,R(A,b) 3,R(A) 2,方程组无解. 5分 1

T

3.解 方程组的解不唯一，则|A| 1

a

1

当a 2时,(Ab) 1

2

8分

2

1 21

21 1

11 0

011

当a １时，方程组有无穷多解，通解x c1 1 c2 2 ，其中 (0,0,1)， 1 ( 1,1,0), 2 ( 1,0,1).

1