数学物理方程习题解答案
数学物理方程
其中f和g都是任意的二次可微函数。
证明：因为
u f(x)g(y)
所以
ux g(y) f (x),uy f(x) g (y)uxy f (x) g (y)
uuxy uxuy f(x)g(y) f (x)g (y) g(y)f (x) f(x) g (y) 0
得证。
3， 已知解的形式为u(x,y) f( x y)，其中 是一个待定的常数，求方程 uxx 4uxy 3uyy 0 的通解。
解：令 x y则u(x,y) f( )
所以ux f ( ) ,uxx f ( ) 2
( uxy f ( ),uy f ( ),uyy f
将上式带入原方程得( 4 3)f ( ) 0
因为f是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以 -4 3 0 从而 1 =3, 2 1， 故u1(x,y) f1(3x y),u2(x,y) f2(x y)都是原方程的解，f1,f2为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
2
2
u(x,y) f1(3x y) f2(x y)为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆
的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相
同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x轴。在杆上任意截取位于
[x,x x]的一段微元，杆的截面积为s，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 u u
(x,t)与(x x,t)，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的 x x
u u
(x,t)与SE(x x)(x x,t)，因此微元受杆的截去部分的拉力分别为SE(x) x x
u u
(x x,t) SE(x)(x,t) 作用力的合力为：SE(x x) x x
变）分别是
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