数学物理方程(谷超豪)第二版前两章答案
数学物理方程(谷超豪)第二版前两章答案
第一章．
波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程
u u
x E t t x x
其中 为杆的密度，E为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x x。现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
x u(x,t);x x u(x x,t)
其相对伸长等于 令
x
[x x u(x x,t)] [x u(x,t)] x
x
ux(x x,t)
，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于
T(x,t) E(x)ux(x,t)
其中E(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,x x)两端的力分别为
E(x)S(x)ux(x,t);E(x x)S(x x)ux(x x,t).
于是得运动方程 (x)s(x) x utt(x,t) ESu利用微分中值定理，消去 x，再令 x 0得
(x)s(x)u
x
x
(x x)|x x ESux(x)|x
(ESu
x
)
若s(x) 常量，则得
u t
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(x)
即得所证。
=
x
(E(x)
u x
)
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在x 0,x l两点则相应的边界条件为
