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2004年第20期　　　　　　　　　　　　　　数学通讯33

有关反函数的高考题综述

曾安雄

(泰顺县第一中学,浙江　325500)

　　反函数是中学数学中的重要概念,是高考中常考的知识点之一,大都是以选择题及填空题的形式出现,属容易题.本文将结合近年来的高考试题,对有关反函数的不同考查内容进行分类并作出探讨,以揭示这类问题的命题及求解的一般规律,供参考.

1　求反函数的解析式

根据互为反函数的两函数的定义域和值域是互换的,排除(A),(B);再据互为反函数的两函数具有相同的单调性(都是减函数),故选(D).

2　求反函数的定义域和值域

,还常,fx)的定义域为A,值域为B,则其反函数y

=f

-1

已知函数y=f(x),析式y=f

-1

x,其

(x)定义域为B,值域为A.

-1

条件是“若x1x2f(x1)≠f(x2)”;其次抓住求反函数的一般步骤:反解———互换———表定义域.

例1　(2003年全国高考题)函数f(x)=sinx,

x∈[

例2　1)　(2004年北京春季高考题)若f

(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数,则f

-1

(x)的

值域是.

2)(1999年上海高考题)函数f(x)=log2x+1(x≥4)的反函数f

-1

π-1

,]的反函数f(x)=22

(A)-arcsinx,x∈[-1,1].

(B)-π-arcsinx,x∈[-1,1].(C)π+arcsinx,x∈[-1,1].(D)π-arcsinx,x∈[-1,1].

(　　)

(x)的定义域是.

解　1)由互为反函数的定义知,反函数的值域就是原函数的定义域.由原函数f(x)的定义域为

(-1,+∞),故f

-1

(x)的值域是(-1,+∞).

分析:本题除了用常规方法外,由于这是一道选择题,又可以通过三角函数的性质排除三个错误选择支而得到正确支.

解法1　(运用三步曲(反解———互换———表定义域))

π-x),且π-x∈(-由y=sinx=sin(

π

),则π-x=arcsiny,即x=π-arcsiny,2

∴y=f

(D).

-1

2)只须求原函数f(x)=log2x+1(x≥4)的值

域即可.

∵f(x)=log2x+1≥3,∴反函数f

-1

(x)的定义域是[3,+∞).

3　求反函数的值

,2

已知函数y=f(x)的解析式,求反函数值f

(a)有两种方法:1)先求出反函数的解析试y=f

-1-1

(x),再把x=a代入即得;2)根据f(a)=b　Ζ

(x)=π-arcsinx,x∈[-1,1],而选

　f

-1

(b)=a,等价转化为求解方程f(x)=a的问

题,解出x即为所求.

解法2　(运用f(a)=b　Ζ　f显然点(

-1

(b)=a)

例3　(2003年上海春季高考题)已知函数

f(x)=

x+1,则f

-1

,1)在y=f(x)上,故有(1,)在y22

(3)=.

-1

=f

-1

(x)上,而排除(A),(B),(C),选(D).

解法1(运且f(a)=b　Ζ　f设f

-1

(b)=a)

解法3　(运用互反函数的定义及单调性)(3)=a,则f(a)=3,即a+1=3,得a