同济五版《高等数学》讲稿WORD版-第05章 定积分,内容详细,不看后悔!

第五章 定积分

教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理 3、 定积分的换元积分法分部积分法。 4、 变上限函数的导数。 §5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线x a、x b、y 0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2 xn 1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3] [xn 1 xn ]

它们的长度依次为 x1 x1 x0 x2 x2 x1 xn xn xn 1

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi 1 xi ]上任取一点 i 以[xi 1 xi ]为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i 1 2 n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

A f ( 1) x1 f ( 2) x2 f ( n ) xn f( i) xi

i 1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯