高等数学习题详解-第9章 无穷级数
习题9-1
1. 判定下列级数的收敛性：
1
(1) ; (2) ; (3)
n 3n 1n 1n 1
(5) ; (6)
nn 1
nk 1
lnn; (4) n 1n 1
( 1)2;
n
n 1
( 1)n n
． n 02n 1
解：（1
）Sn
1，则limSn=lim(
n
n
1)=+ ，级数
发散。
（2）由于
1
=n=1n+3
ゥ
1
，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在n=4n
一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
n
（3）Sn=邋ln=
n+1k=1
n
nn
[lnn-ln(n+1)]=ln1-ln(n+1)=-ln(n+1)，则
k=1
limSn=
n
li-m[n+ln(=-1 )]，级数发散。
ì-2 , n=2k-1ïï（4）Sn=í, k=1,2,3,L;因而limSn不存在，级数发散。
nï 0 , n=2kïî
（5）级数通项为un=原级数发散。
n+1n
=1 0，不满足级数收敛的必要条件，，由于lim
nnn+1
(-1)nn
（6）级数通项为un=，而limSn不存在，级数发散。
n2n+1
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： 11
(1) n n
3n 1 2
； (2)
1
; n(n 1)(n 2)
n 1
π
(3) n sin; (4)
2nn 1
cosn2π．
n 0
解：（1）因为
骣11÷Sn=邋+=kk÷÷23k=1桫
n
nk=1
1
+k2
11113111=1-+(1-)=-n- n. k=13knn
2232223
3
, 2
n
所以该级数的和为
3111
S=limSn=lim(-n-?n)
nn2223
即
骣11÷3+=. ånn÷÷232k=1桫
¥
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