彩票的数学模型

彩票的数学模型

参赛队员：黄政权 符 华 龚智华

指导教师：数模组

一、摘要

本道题目给出了现在常见的包含有"传统型"和"乐透型"两种对奖形式的29种销售规则及相应的奖金设置方案。我们通过排列组合的方法求出了各种奖项出现的可能性，进而得出了各个奖项的单注中奖金额。并由各种奖项出现的可能性和各个奖项的单注中奖金额为参数建立一个吸引力函数。通过吸引力函数分别计算出29种方案中每种方案的吸引力，用这些数据建立表格并排序,找出吸引力和方案的联系，同时还评价了各方案的合理性.结合吸引力和合理性建立一个综合评价模型，由模型我们提出了一种比现在流行的方案"更好"的方案，还附上了方案相应的算法，由此对彩票管理部门提出了几点中肯的建议。在对彩票管理部门提建议的同时，我们还把分析过程中遇到的对彩民有帮助意义的部分发布出来。

二、问题重述

目前流行的彩票主要有“传统型”，“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0—9号球中摇出6个基本号码（号码可重复），每组摇出一个，然后从0-4中选出一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码在按照号码顺序相同情况下相符的个数多少来确定中奖等级。

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注只发放其所中的最高级别的奖，不可以兼得。

一般低等奖项的奖金金额是固定的，高项奖的奖金分配按比例分配，其公式为： [（当期销售总额*总奖金比例）-低项奖金总额]*单项奖比例

现在有一些实际方案，我们需从各种奖金的可能性，奖项和奖金金额的设置以及对彩民的吸引力等多方面来评价这些方案的合理性。并根据所得结果，设计出一种更好的方案以及算法。

三、符号说明

P(i) i 等奖的z中奖概率 H 高项奖奖金总额 n 总注数

L 低项奖奖金总额