抽象函数问题有关解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的

x

) 2x 1,求f(x). x 1xuu2 u

解：设∴f(u) 2 u,则x 1

x 11 u1 u1 u

例1：已知

f(

∴

f(x)

2 x

1 x

2.凑配法：在已知

f(g(x)) h(x)的条件下，把h(x)拼凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还

能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x ) x3 3

xx

，求

f(x)

解：∵

1111111

1 f(x ) (x )(x2 1 2) (x )((x )2 3)又∵|x | |x|

x|x|xxxxx

∴

f(x) x(x2 3) x3 3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设

f(x)二次实函数，且f(x 1) f(x 1) x2+2x+4,求f(x).

f(x)=ax2 bx c，则f(x 1) f(x 1) a(x 1)2 b(x 1) c a(x 1)2 b(x 1) c

2(a c) 4

1313 22

a ,b 1,c ∴f(x) x2 x =2ax 2bx 2(a c) x 2x 4比较系数得 2a 1

2222 2b 2

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵

y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x) lg(x 1),求f(x)

f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f( x) lg( x 1) lg(1 x),

∵

lg(1 x),x 0

f(x)为奇函数，∴lg(1 x) f( x) f(x)∴当x<0时f(x) lg(1 x)∴f(x)

lg(1 x),x 0

例5．一已知解：∵

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)

1

， 求f(x),g(x). x 1

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f( x) f(x),g( x) g(x),

f(x)+g(x)=

不妨用-x代换∴

1

………①中的x, x 111

即f(x)－g(x) ……② f( x) g( x)

x 1x 1