上海财经大学高数习题集答案 期末了财大童鞋刷题可以校队答案哦,详解~

第五章 定积分

学习测试题答案

A 基本题

1. 填空题

(1)

0

|cosxx 0

2 sin2|dx 20(cosx2 sinx2)dx xx

(sin cos)dx

2

22

2(sinx2 cosx2)|xx

02 2(sin2 cos2| 2( 1 1 4 4。

4

(2) F(x) x

(

y

3

sint

3

t2 1

dt)dy, F (x) xsint00

0t2 1dt, 3 F (x)

sinx3x2sinx3x 1 3x2

x 1

。 b

(3)由题，由积分中值定理得f( )

a

f(x)dxb a

。

x

2

2

(4)由题lim 0

et 1dt limex 1x2

x 0

f(x) lim

x 0

x2

x02x

limx 02x 0 f(0) a。 a 0。 (5)e x2

为偶函数，所以

x t

1

e

x2

dx 2

x2

e

dx2

e t

d t

t

1

00edt (2

) 。

2. 选择题

(1)由定积分的几何意义知，曲边梯形的面积为 b

a|f(x)|dx。

(2)f(x)在[a,b]上连续 定积分 b但定积分 b

a

f(x)dx存在。

a

f(x)dx存在不一定能推出f(x)在[a,b]上连续，若f(x)在[a,b]上至多有可数个第一类可去间断点，则定积分 b

af(x)dx也存在。

(3)A：

11

1

x

3在x 0处趋于无穷大，所以x 0为瑕点， 111

1x3dx 1x3dx 0x3dx 10 112x2| 1 2x2|0

，是不收敛的广义积分， - 1 - 王 琪 编著

B：

xsinx

1 x2

为偶函数。则 xsinx 1 x2dx 2 xsinx01 x2dx 0， 1

1C：|x|为偶函数。则 2|x|dx 2 2 1xdx 0，

2

D：x2[f(x) f( x)]为奇函数。则 5

5

x2[f(x) f( x)]dx 0。

s

x

u(4)由题I t tf(tx)dx

t

s

f(u)du，

所以I的数值只依赖于s，而与其他变量无关。 (5)由题及洛必达法则知， 2 x

limF(xa

f(t)dt

x

a

f(t)dtx a

x) lim

x a

x a

a2lim

x a

x a

a2limxf(x) a2f(a)。

a

x 12

)dx, 11(6)由题g(x) 02(x 10 x 1 6x3 2x,0 x 1 1102(x2 1)dx x1 13(x1 1)dx, x 2 21

3 6

(x 1)2,1 x 2

1x3 1

2x,

0 x 1 6

。因为limg(x) limg(x) g(1)，所以g 15(x)连续。21x 1 x 1 6

x 3x 6,1 x 2

2]上连续，则在(0,2)有界，且g(x) 1x2

2( 1)0 x g(x)在[0, 1，则 1

3(x 1)1 x 2g (x) 0，则g(x)在[0,2]上为单调递增函数。 (7)A： 1

1

0sinxdx 10cscxdx ln|cscx cotx||10 ，所以发散。 B： 1

sinx

dx为超越函数，但收敛。 C：

12xlnxdx 12lnxdlnx 1lnx

|

2 ln2，收敛。 D：

lnx

1

2

3

2

1

x3

dx 2 0

lnxdx

2 0

xdx 2x2lnx|

0 ，所以发散

3. 计算题

(1)lim1n (n 1 1n 2 111

n n) limn n(

1 11 n1 n1

n

- 2 -