证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：
⑵将分子或分母放大（或缩小） a2 1 a；n(n 1) n
n(n 1) n (n 1)
2 ⑶利用基本不等式，如：lg3 lg5 (lg3 lg52) lg lg lg4；2
01n01⑷二项式放缩: 2n (1 1)n Cn,2n Cn Cn Cn Cn n 1,
2 2n C0 C1 C2 n n 2 2n n(n 1)(n 2) nnn2
(5)利用常用结论：
Ⅰ.
的放缩
Ⅱ. 1的放缩(1) ：
k2111（程度大） 2 k(k 1)kk(k 1)
11111（程度小） ( )k 1(k 1)(k 1)2k 1k 12Ⅲ. 1 的放缩(2)：1 22kk
411（程度更小） Ⅳ. 1的放缩(3)：1
2 2 2( )k4k 12k 12k 1k2
Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:b b m(b a 0,m 0)和b b m(a b 0,m 0)
aa maa m
记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：f(x) x(x 0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1 x
f(a b) f(a b)。
一． 先求和再放缩
例1.an
1,前n项和为Sn ，求证：sn 1 n (n 1)
例2.an () , 前n项和为Sn ，求证：sn
13n1 2
